त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से जोड़ने वाले रेखाखंड को त्रिभुज की माध्यिका ( Median ) कहते हैं।
क्रियाकलाप
कागज के टुकड़े से एक त्रिभुज ABC काटिए। इसकी कोई एक भुजा जैसे आकृति 2 .30 में भुजा BC लीजिए। कागज मोड़ने की प्रक्रिया द्वारा BC का लम्ब समद्विभाजक ज्ञात कीजिए।
कागज पर मोड की तह , भुजा BC को D पर काटती है, जो उसका मध्य बिन्दु है। शीर्ष A को D से मिलाइए।
त्रिभुज की माध्यिका चित्र -1
रेखाखंड AD जो BC के मध्य बिन्दु D को सम्मुख शीर्ष A से मिलाता है, त्रिभुज की एक माध्यिका है। भुजा AB तथा CA लेकर, इस त्रिभुज की दो और माध्यिकाएं खींचिए। माध्यिका , त्रिभुज के एक शीर्ष को, सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से मिलाती है। जैसा की निम्न चित्र -2 में दिखया गया है|
त्रिभुज की माध्यिका चित्र -2
इसे निम्नलिखित आकृति -3 को देखिए। चित्र (1) में त्रिभुज के शीर्ष A को उसकी सम्मुख भुजा BC के मध्य बिंदु D से मिलाया गया है। चित्र ( ii ) में शीर्ष c को सम्मुख भूजा AB के मध्य बिन्दु E से मिलाया गया है|
चित्र (iii) में शीर्ष B को सम्मुख भुजा AC के मध्य बिन्दु F से मिलाया गया है। रेखाखंड AD . CE और BF त्रिभुज ABC की माध्यिकाए कहलाती है । चित्र ( iv ) में त्रिभुज ABC की कितनी माध्यिकाएँ हैं ? हम देखते हैं कि त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ हैं , जो बिन्दुगामी होती हैं।
त्रिभुज की माध्यिका चित्र -3
अतः
त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से जोड़ने वाले रेखाखंड को त्रिभुज की माध्यिका ( Median ) कहते हैं।
त्रिभुज की माध्यिका पर आधारीत प्रयोग
प्रयोग 1
एक APOR खींचिए जिसकी भुजाएँ 5 सेमी , 6 सेमी और 7सेमी हों। PQ , QR और RP के मध्य बिन्दुओं क्रमशः S . N . M को उनके सम्मुख शीर्षों से मिलाइए। बताइए रेखाखंड PN . RS और QM . त्रिभुज POR की माध्यिकाएँ हैं। अथवा नहीं ?
क्या तीनों माध्यिकाएँ एक ही बिन्द से होकर जा रही हैं ?
त्रिभुज की माध्यिका चित्र -4
प्रयोग 2
एक त्रिभुज APQR खींचिए जिसकी भुजाएँ। सेमी . 5 सेमी और 6 सेमी हों। PR के मध्य बिन्दु M को शीर्ष से मिलाइए।
PO के मध्य बिन्दु S को R से मिलाइए। QM और RS त्रिभुज की तीन माध्यिकाओं में से दो माध्यिका है। जहाँ QM और RS मिलती हैं , उस बिन्दु पर G अंकित कीजिए।
PG मिलाकर बढ़ाइए। मान लीजिए कि यह QR को बिन्दुN पर मिलती है। QN और NR को मापिए। क्या QN = NR हम देखते हैं कि QN = NR अतः N भुजा QR का मध्य बिन्दु हुआ और
इस प्रकार PN त्रिभुज की तीसरी माध्यिका हुई और तीनों माध्यिकाएँ एक बिन्दु G से होकर जा रही हैं । अब एक APQR बनाइए । इसकी दो माध्यिकाएँ खींचकर उनके प्रतिच्छेदन बिन्दु को G से नामांकित कीजिए ।
तीसरे शीर्ष को इस बिन्द से मिलाकर आगे बढ़ाइए और देखिए कि यह रेखा माध्यिका है या नहीं । हम देखते हैं कि यह भी माध्यिका है ।
अतः त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी ( Concurrent ) होती हैं । वह बिन्दु जिस पर त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ मिलती हैं , माध्यिकाओं का संगमन बिन्दु या त्रिभुज का केन्द्रक ( Centroid ) कहलाता है ।
” किसी त्रिभुज के शीर्ष के सम्मुख भुजा पर डाले गए लंब रेखाखंड को त्रिभुज का शीर्षलंब का कहते हैं| त्रिभुज में तीन शीर्ष लंब होते हैं|”
कागज के गत्ते से एक त्रिभुज का निर्माण करें| कागज के गत्ते से बने इस त्रिभुज को हाथों से पकड़कर मेज पर सीधा खड़ा कर दें|
इसकी कितनी ऊंचाई है? यह ऊंचाई सीधा L भुजा से भुजा A तक की लंब दूरी है| जो जो उपरोक्त चित्र में दिखाया गया है|
व्याख्या
त्सिरिभुज ABC में ऐसे अनेकों रेखाएं खींची जा सकती है| लेकिन सबसे बड़ा प्रश्न यह है? कि त्रिभुज का शीर्षलंब कौन सा रेखाखंड प्रदर्शित करता है|
वह रेखाखंड जो सिर्फ A ऊर्ध्वाधर रेखा BC पर डाला गया लम्ब है| वही त्रिभुज की ऊंचाई ( त्रिभुज का शीर्षलंब ) प्रदर्शित करता है|
रेखाखंड AL त्रिभुज का एक शीर्ष लंब है| शीर्षलंब का एक अन्त्य बिंदु, त्रिभुज के शीर्ष पर और दूसरा अन्त्य बिंदु सम्मुख भुजा बनाने वाले रेखा पर स्थित जिस बिंदु पर लंब होता है| वही बिंदु है| प्रत्येक शीर्ष से एक लंबा खींचा जा सकता है|
चित्र एक में त्रिभुज ABC के D से भुजा BC पर, चित्र 2 में त्रिभुज ABC के सिर से B से भुजा AC पर लम्ब BE और चित्र 3 में त्रिभुज ABC के C से भुजा AB पर लंब CF खींचा गया है| अतः रेखाखंड AD, BE और CF त्रिभुज ABC के शीर्ष लंब है| अतः इन सभी चित्रों से यह पता चलता है| कि त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब एक ही बिंदु से होकर जाते हैं|
” किसी त्रिभुज के शीर्ष के सम्मुख भुजा पर डाले गए लंब रेखाखंड को त्रिभुज का शीर्षलंब का कहते हैं| त्रिभुज में तीन शीर्ष लंब होते हैं|”
उदाहरण
एक त्रिभुज ABC बनाएं । जिसकी भुजाएं 4 सेंटीमीटर 5 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर है। इस त्रिभुज के शीर्ष A, B और C से शीर्षलंब खींचे।?
सबसे पहले त्रिभुज की रचना मां के अनुसार करें ।
शीर्ष A से AL शीर्षलब BC खींचिए ।
शीर्ष C से शीर्षलंब एबी पर खिचिये
उदाहरण
एक त्रिभुज एबीसी खींचिए जिसकी भुजाएं 7 सेंटीमीटर 6 सेंटीमीटर और 5 सेंटीमीटर है इस त्रिभुज के शीर्ष बी और C से शीर्षलंब खींचिए
हल
दी गई भुजाओं के अनुसार त्रिभुज ABC खींचिए।
बिंदु B से AC पर लंब BM खींचिए।
बिंदु C से AB पर लंब खींचिए ।
बिंदु A से BC पर लंब खींचिए या जिस बिंदु पर रेखा BM और CN काटते हैं उस बिंदु को O कर बिंदु A से बिंदु O को मिलाते हुए एक रेखा खींचिए जो भुजा BC पर लंब होगा।
त्रिभुज के शीर्ष से सामने वाले भुजा पर डाला गया लम्ब भुजा शीर्षलंब या समद्विबाहु त्रिभुज का लम्ब कहलाता है|
उपरोक्त चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज दिखाया गया है| जिसकी दो समान भुजाएं AB और AC है| यह दोनों भुजाएं बिंदु A पर मिलती हैं|
अतः बिंदु A आधार BC पर डाला गया लंब| समद्विबाहु त्रिभुज का लंब होगा| जो समद्विबाहु त्रिभुज के आधार को दो बराबर भागों में बांटता है| अतः भुजा BO बराबर भुजा OC होगा |
समद्विबाहु त्रिभुज का लम्ब समद्विबाहु त्रिभुज को दो बराबर भागों में बांटता है|
निम्न चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज दिखाया गया है जिसकी दो समान भुजाएं AB और AC है|
सिद्ध कीजिए कि इस त्रिभुज का शीर्ष A से आधार BC पर डाला गया लम्ब समद्विबाहु त्रिभुज को दो बराबर भागों में बांटता है| सिद्ध कीजिए 🛆ABO ≅ 🛆ACO
सिद्ध कीजिए करना है| 🛆ABO ≅ 🛆ACO
प्रथमः चरण
ㄥABC = ㄥACB इसी प्रकार त्रिभुज 🛆ABO और 🛆ACO में कोण ㄥABO = ㄥAOB ( हम जानते है की समद्विबाहु त्रिभुज के आधार भुजा और दोनों समान भुजाओ से बनाने वाले आतंरिक कोण समान होते है|
द्वितीय चरण
ㄥAOB = ㄥAOC = 90०
तृतीय चरण
त्रिभुज 🛆ABO और 🛆ACO में ㄥBAO और ㄥCAO बराबर होगे क्योकि इनके दोनों कोण समान है| तो तीसरा कोण भी समान होगा|
यदि किन्ही दो त्रिभुज के तीनो कोण समान होते है तो वह त्रिभुज सर्वंगासम होता है|
समद्विबाहु त्रिभुज का लम्ब समद्विबाहु त्रिभुज के आधार को दो बराबर भागों में बांटता है|
जैसा की उपरोक्त में सिद्ध किया गया है| की 🛆ABO और 🛆ACO सर्वंगासम है| सर्वंगासम के सभी घटक समान होते है| अतः इन दोनों के सभी कोण और भुजा समान होगे|
किसी भी मैथ के प्रश्नों को हल करने के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है। लेकिन इन सूत्रों को लंबे समय तक याद रखना मुश्किल हो जाता है। इस नोट्स में समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र ट्रिक के माध्यम से कैसे याद लम्बे समय तक याद रखे बताया गया है। samdibahu tribhuj ka kshetrafal ka formula samdibahu tribhuj ka kshetrafal ka sutra
यदि इन सूत्रों को ट्रिक के माध्यम से याद किया जाये तो यह लम्बे समय तक याद रहते है। समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) 3 महत्वपूर्ण सूत्र जो निम्न है।
प्रथमः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र
जहाँ A = समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,
s = समद्विबाहु त्रिभुज के परिमाप का आधा = p/2
b = आधार भुजा
a और c दो समान भुजाये
ट्रिक – sabc (साबस)
जहाँ s = समद्विबाहु त्रिभुज का आधा
b = आधार
a और c समद्विबाहु त्रिभुज की दो समान भुजाये है
आप ने यह ट्रिक तो याद कर ली लेकिन इस ट्रिक से सूत्र को कैसे लिखे?
सबसे पहले इस ट्रिक को करणी में लिखे
2. इस ट्रिक में चार अल्फाबेट है तो s को चार बार लिख ले
3. अब इक s में a को, दुसरे s में से b को, तीसरे s में c को घटा दे और चौथे s को वैसे ही रहने दे
हम जानते है कि समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाये बराबर होती है। भुजा a = भुजा c, जहाँ भुजा b आधार , s परिमाप का आधा।
द्वितीय समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र
यह सूत्र साधारण तौर पर सभी त्रिभुजो में प्रयोग किया जाता है।
जहाँ A = समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र, b = आधार, h = उचाई
ट्रिक – आउच
जहाँ
“आ”का अर्थ = त्रिभुज का आधार
“उच” का अर्थ = उचाई
“आधा” का अर्थ = 1/2
तृतीय समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र
ट्रिक – आधार का चाचा घर में चार भुज वर्ग के पीछे वर्ग
