त्रिभुज की माध्यिका की परिभाषा

त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से जोड़ने वाले रेखाखंड को त्रिभुज की माध्यिका ( Median ) कहते हैं।

क्रियाकलाप

कागज के टुकड़े से एक त्रिभुज ABC काटिए। इसकी कोई एक भुजा जैसे आकृति 2 .30 में भुजा BC लीजिए। कागज मोड़ने की प्रक्रिया द्वारा BC का लम्ब समद्विभाजक ज्ञात कीजिए।

कागज पर मोड की तह , भुजा BC को D पर काटती है, जो उसका मध्य बिन्दु है। शीर्ष A को D से मिलाइए।

रेखाखंड AD जो BC के मध्य बिन्दु D को सम्मुख शीर्ष A से मिलाता है, त्रिभुज की एक माध्यिका है। भुजा AB तथा CA लेकर, इस त्रिभुज की दो और माध्यिकाएं खींचिए। माध्यिका , त्रिभुज के एक शीर्ष को, सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से मिलाती है। जैसा की निम्न चित्र -2 में दिखया गया है|

इसे निम्नलिखित आकृति -3 को देखिए। चित्र (1) में त्रिभुज के शीर्ष A को उसकी सम्मुख भुजा BC के मध्य बिंदु D से मिलाया गया है। चित्र ( ii ) में शीर्ष c को सम्मुख भूजा AB के मध्य बिन्दु E से मिलाया गया है|

चित्र (iii) में शीर्ष B को सम्मुख भुजा AC के मध्य बिन्दु F से मिलाया गया है। रेखाखंड AD . CE और BF त्रिभुज ABC की माध्यिकाए कहलाती है । चित्र ( iv ) में त्रिभुज ABC की कितनी माध्यिकाएँ हैं ? हम देखते हैं कि त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ हैं , जो बिन्दुगामी होती हैं।

अतः

त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से जोड़ने वाले रेखाखंड को त्रिभुज की माध्यिका ( Median ) कहते हैं।

त्रिभुज की माध्यिका पर आधारीत प्रयोग

प्रयोग 1

एक APOR खींचिए जिसकी भुजाएँ 5 सेमी , 6 सेमी और 7सेमी हों। PQ , QR और RP के मध्य बिन्दुओं क्रमशः S . N . M को उनके सम्मुख शीर्षों से मिलाइए। बताइए रेखाखंड PN . RS और QM . त्रिभुज POR की माध्यिकाएँ हैं। अथवा नहीं ?

क्या तीनों माध्यिकाएँ एक ही बिन्द से होकर जा रही हैं ?

प्रयोग 2

एक त्रिभुज APQR खींचिए जिसकी भुजाएँ। सेमी . 5 सेमी और 6 सेमी हों। PR के मध्य बिन्दु M को शीर्ष से मिलाइए।

PO के मध्य बिन्दु S को R से मिलाइए। QM और RS त्रिभुज की तीन माध्यिकाओं में से दो माध्यिका है। जहाँ QM और RS मिलती हैं , उस बिन्दु पर G अंकित कीजिए।

PG मिलाकर बढ़ाइए। मान लीजिए कि यह QR को बिन्दुN पर मिलती है। QN और NR को मापिए। क्या QN = NR हम देखते हैं कि QN = NR अतः N भुजा QR का मध्य बिन्दु हुआ और

इस प्रकार PN त्रिभुज की तीसरी माध्यिका हुई और तीनों माध्यिकाएँ एक बिन्दु G से होकर जा रही हैं । अब एक APQR बनाइए । इसकी दो माध्यिकाएँ खींचकर उनके प्रतिच्छेदन बिन्दु को G से नामांकित कीजिए ।

तीसरे शीर्ष को इस बिन्द से मिलाकर आगे बढ़ाइए और देखिए कि यह रेखा माध्यिका है या नहीं । हम देखते हैं कि यह भी माध्यिका है ।

अतः त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी ( Concurrent ) होती हैं । वह बिन्दु जिस पर त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ मिलती हैं , माध्यिकाओं का संगमन बिन्दु या त्रिभुज का केन्द्रक ( Centroid ) कहलाता है ।

त्रिभुज का शीर्षलम्ब