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वास्तविक संख्या किसे कहते हैं? इसकी परिभाषा, गुण, प्रकार सूत्र और उदहारण आदि

वास्तविक संख्या किसे कहते हैं?

वास्तविक संख्या किसे कहते हैं?वे सभी संख्याएं जो हम अपने किताब में या अन्य कहीं पर देखते हैं, वे सभी संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं। वास्तविक संख्याओं को R से प्रदर्शित किया जाता है।

हम अपने चारो तरफ जीतनी भी संख्याये यह सभी वास्तविक संख्याएं हैं वास्तविक संख्याओं का प्रयोग वस्तुओं को गिनने में, तापमान का पता लगाने में, भिन्न और दशमलव को दर्शाने में किया जाता है वास्तविक संख्याएं कई प्रकार की होती हैं इस अध्याय में हम सभी वास्तविक संख्याओं के बारे में जानेंगे

वास्तविक संख्या की परिभाषा

सभी प्रकार की संख्याएँ जो हमारे आस-पास होती है। वास्तविक संख्याएँ कहलाती है। जैसे प्राकृतिक संख्याएं, पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक संख्याएं, परिमेय संख्याएं, अपरिमेय संख्याएं आदि सभी वास्तविक संख्याएं है।

वास्तविक संख्या के महत्वपूर्ण बिंदु

सभी संख्याएं वास्तविक संख्या है। लेकिन सम्मिश्र संख्याओं (complex number) को छोड़कर। सम्मिश्र संख्याओं (complex number) वास्तविक संख्या नहीं है।

  • वस्तुओ को गिनने में वास्तविक संख्या का प्रयोग होता है, जो एक वास्तविक संख्या है। उदाहरण- N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ….. आदि।
  • प्राकृतिक संख्याओं में 0 को शामिल कर लिया जाये तो वे पूर्ण संख्या कहलाती है। पूर्ण संख्या भी वास्तविक संख्या है। उदाहरण = W = 0, 1, 2, 3, 4, 5 …… आदि।
  • यदि पूर्ण संख्या में ऋण संख्या को भी शामिल कर लिया जाए तो वह पूर्णांक संख्या कहलाती है। पूर्णांक संख्या एक वास्तविक संख्या है। उदहारण – Z = …,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, -4… आदि
  • परिमेय संख्या भी एक वास्तविक संख्या है। उदहारण – 1/2, 4/5, 7/9 आदि परिमेय संख्याएं है।

वास्तविक संख्या के प्रकार

मिश्रित संख्या को छोड़कर सभी संख्याएं वास्तविक संख्याएं है। जैसा की निम्न चित्र में दिया गया है।

वास्तविक संख्या किसे कहते हैं?
वास्तविक संख्या के प्रकार

वास्तविक संख्या के गुण

वास्तविक संख्या के गुण निचे दिया है।

क्लोजर प्रॉपर्टी (Closure Property)

  • दो वास्तविक संख्याओं का योग वास्तविक संख्या होती है।
  • दो वास्तविक संख्या का गुणनफल वास्तविक संख्या ही होता है।

संबंधी संपत्ति (Associative Property)

तीन वास्तविक संख्या को किसी भी स्थिति में जोड़ा जाये योगफल वास्तविक संख्या होता है। जैसे a + (b + c) = (a + b) + c and a × (b × c) = (a × b) × c

क्रमचयी गुणधर्म (Commutative Property)

दो वास्तविक संख्याओं का योगफल वही रहता है। यदि उनका क्रम बदल दिया जाएं। जैसी a + b = b + a और a × b = b × a

वितरण की जाने वाली संपत्ति (Distributive Property)

वास्तविक संख्याओं को जोड़ने पर गुणन का वितरण a × (b + c) = (a × b) + (a × c) है। घटाव पर गुणन a × (b – c) = (a × b) होता है।

वास्तविक संख्या के सूत्र

a = bq + r, 0 ≤ r < b जहाँ a और b पूर्णांक संख्या, q पूर्ण संख्या

संख्या क्या है? संख्या के प्रकार वास्तविक संख्या
अभाज्य संख्यापूर्णांक संख्या
पूर्ण संख्याविषम संख्या
पूर्ण संख्या और पूर्णांक संख्याप्राकृतिक संख्या
सम संख्या और विषम संख्या

क्या 0 वास्तविक संख्या है?

शून्य एक वास्तविक संख्या है।

वास्तविक संख्या के 2 प्रकार क्या हैं?

वास्तविक संख्या के 2 प्रकार 1. पूर्ण संख्या, 2. पूर्णाक संख्या

क्या 3 एक वास्तविक संख्या है?

हाँ ! 3 एक वास्तविक संख्या है। और साथ-साथ यह पूर्ण संख्या है।

सबसे बड़ी वास्तविक संख्या कौन सी है?

सबसे बड़ी वास्तविक संख्या नहीं होती है। अनंत को सबसे बड़ी है।

क्या एक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है?

हाँ! अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है।

सबसे छोटी वास्तविक संख्या कौन सी है?

– ∞ (अनंत) सबसे छोटी वास्तविक संख्या है।

पूर्ण संख्या किसे कहते हैं? इसकी परिभाषा, प्रकार, गुण, उदहारण और लिस्ट PDF में

सभी धनात्मक पूर्णांकों और शून्य पूर्ण संख्या की श्रेणी में आते है। इनमे भिन्न, दशमलव, और ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं होती है। सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती है। हम इस अध्याय में पूर्ण संख्या किसे कहते है? इसकी परिभाषा, प्रकार, गुण, उदहारण और 1 से 100 तक की सभी पूर्ण संख्याओं की PDF सहित लिस्ट के बारे में जानेगे।

वैसे तो गणितीय भाषा में संख्याएँ कई प्रकार की होती है, जैसे प्राकृतिक संख्या, पूर्ण संख्या, भाज्य संख्या, अभाज्य संख्या, सम संख्या विषम संख्या आदि लेकिन इस अध्याय में हम पूर्ण संख्या के बारे में जानेगे।

पूर्ण संख्या किसे कहते हैं?

0 से अनंत तक की सभी धनात्मक संख्याओं को पूर्ण संख्या कहते है। इनमे भिन्न, दशमलव, ऋणात्मक आदि संख्याएँ शामिल नहीं है। सरल शब्दों में शून्य और सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय को पूर्ण संख्या कहते है। हालांकि, शून्य एक अपरिभाषित पहचान है जो एक शून्य सेट या कोई परिणाम नहीं दर्शाता है।

पूर्ण संख्या की परिभाषा

0 के साथ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय की पूर्ण संख्या होती है। जैसे – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ………..∞

 पूर्ण संख्या किसे कहते है ?
पूर्ण संख्या

0 से अनंत तक की सभी धनात्मक समुच्चय को पूर्ण संख्या कहते है। 1 से अनंत तक की सभी धनात्मक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याएँ होती है, अतः हम यह कह सकते है की सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्या होती है। लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती है।

  • सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
  • सभी गिनती वाली संख्याएं पूर्ण संख्याएं होती हैं।
  • शून्य के साथ सभी धनात्मक पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
  • सभी पूर्ण संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

पूर्ण संख्या के गुण

पूर्ण संख्याओं पर मूल संक्रियाएँ: जोड़, घटाव, गुणा और भाग, पूर्ण संख्याओं के चार मुख्य गुणों की ओर ले जाते हैं, जो नीचे सूचीबद्ध हैं:

क्लोजर प्रॉपर्टी (Closure Property)
संबंधी संपत्ति (Associative Property)
क्रमचयी गुणधर्म (Commutative Property)
वितरण की जाने वाली संपत्ति (Distributive Property)

क्लोजर प्रॉपर्टी (Closure Property)

दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणनफल हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 7 + 3 = 10 (पूर्ण संख्या), 7 × 2 = 14 (पूर्ण संख्या)

संबंधी संपत्ति (Associative Property)

किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं का योग या गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए। उदाहरण के लिए, जब हम निम्नलिखित संख्याओं को जोड़ते हैं तो हमें वही योग मिलता है: 10 + (7 + 12) = (10 + 7) + 12 = (10 + 12) + 7 = 29। इसी तरह, जब हम निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करते हैं तो हम एक ही उत्पाद प्राप्त करें चाहे संख्याओं को कैसे समूहित किया जाए: 3 × (2 × 4) = (3 × 2) × 4 = 24।

क्रमचयी गुणधर्म (Commutative Property)

दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणन संख्याओं के क्रम को बदलने के बाद भी वही रहता है। यह गुण बताता है कि जोड़ के क्रम में परिवर्तन योग के मूल्य को नहीं बदलता है। मान लें कि ‘a’ और ‘b’ कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी a + b = b + a के अनुसार दो पूर्ण संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, a = 10 और b = 19 10 + 19 = 29 = 19 + 10. इसका अर्थ है कि पूर्ण संख्याएँ योग के अंतर्गत बंद हैं। यह गुण गुणन के लिए भी सही है, लेकिन घटाव या भाग के लिए नहीं। उदाहरण के लिए: 7 × 9 = 63 और 9 × 7 = 63।

वितरण की जाने वाली संपत्ति (Distributive Property)

यह गुण बताता है, कि एक पूर्ण संख्या के गुणन को पूर्ण संख्याओं के योग में वितरित किया जाता है। इसका अर्थ है, कि जब दो संख्याओं, उदाहरण के लिए a और b को समान संख्या c से गुणा किया जाता है, और फिर जोड़ दिया जाता है, तो समान उत्तर प्राप्त करने के लिए a और b के योग को c से गुणा किया जा सकता है। इस स्थिति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)। मान लीजिए a = 10, b = 20 और c = 7 10 × (20 + 7) = 270 और (10 × 20) + (10 × 7) = 200 + 70 = 270। वही गुण घटाव के लिए भी सही है। . उदाहरण के लिए, हमारे पास एक × (बी – सी) = (ए × बी) – (ए × सी) है। मान लीजिए a = 10, b = 20 और c = 7 10 × (20 – 7) = 130 और (10 × 20) – (10 × 7) = 200 – 70 = 130।

संख्या क्या है? संख्या के प्रकार वास्तविक संख्या
अभाज्य संख्यापूर्णांक संख्या
पूर्ण संख्याविषम संख्या
पूर्ण संख्या और पूर्णांक संख्याप्राकृतिक संख्या
सम संख्या और विषम संख्या

1 से 100 तक की पूर्ण संख्याएँ

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1 से 100 तक की पूर्ण संख्याएँ पीडीऍफ़ में डाउनलोड करे।

प्राकृत और पूर्ण संख्या में अंतर

पूर्ण संख्याप्राकृतिक संख्या
पूर्ण संख्या 0 से अनंत तक होती है। प्राकृतिक संख्या 1 से अनंत तक होती है।
सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है।
सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ नहीं होती है। सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं होती है।
प्राकृत और पूर्ण संख्या में अंतर

पूर्ण संख्या और पूर्णांक में अंतर

पूर्ण संख्या पूर्णांक संख्या
0 से अनंत तक सभी धन संख्याएँ पूर्ण संख्या होती है। दसमलव, भिन्न, ऋणात्मक संख्याओं को छोड़कर सभी ऋणात्मक संख्याये और पूर्ण संख्याये पूर्णांक संख्या होती है।
यह ऋणात्मक नहीं हो सकती। यह ऋणात्मक होती है।
यह दसमलव नहीं सकती। यह दसमलव नहीं सकती।
यह भिन्न हो सकती है। यह भिन्न हो सकती है।

पूर्ण संख्या की गणना

स्फेरफाइएरफोई

पूर्ण संख्या कौन कौन सी होती है?

शून्य से अनंत तक की सभी संख्याएँ पूर्ण संख्या होती है।

पूर्ण संख्या कैसे निकाले?

शून्य से अनंत के बीच सभी धनात्मक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होंगी ऋणात्मक, भिन्न, दसमलव संख्याओं को छोड़कर सभी संख्याएँ पूर्ण संख्या होगी।

सबसे छोटी पूर्ण संख्या कौन है?

सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है।

क्या सभी प्राकृतिक संख्या पूर्ण संख्या है?

हाँ ! सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण है, लेकिन सभी पूर्ण संख्या प्राकृतिक संख्या नहीं होती है।

क्या पूर्ण संख्या 1 से शुरू होती है?

नहीं ! सभी पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होती है।

32 और 53 के बीच में कितनी पूर्ण संख्या है?

32 और 53 के बीच 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 पूर्ण संख्याएँ है।

प्रथम पांच पूर्ण संख्या का माध्य क्या होगा?

प्रथम पांच पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4 माध्य 10/2 = 5, अतः प्रथम पांच पूर्ण संख्याओं का माध्य 5 है।

सबसे छोटी और सबसे बड़ी पूर्ण संख्या क्या है?

सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 और बड़ी संख्या अभी तक पता नहीं है, लेकिन सबसे बड़ी पूर्ण संख्या अनंत को कहा सकता है।

क्या शून्य पूर्ण संख्या है?

हाँ, 0 एक पूर्ण संख्या है।